Question

已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F₁B＋F₂B＝10，椭圆上不同的两点A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)满足条件：F₂A，F₂B，F₂C成等差数列．

(1)求该椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由椭圆的定义及已知得2a＝F1B＋F2B＝10，a＝5，又c＝4，所以b2－a2－c2＝9，故该椭圆的方程为＝1； 　　(2)由题意可得F2(4，0)，F2B＝，设点A(x1，y2)，C(x2，y2)，则F2A＝，又点A(x1，y1)在椭圆＝1上，故有＝1，，代入F2A＝得 　　F2A＝(25－4x1)(或直接利用焦半径公式)，同理F2C＝(25－4x2)，因为F2A，F2B，F2C成等差数列，所以F2A＋F2C＝2F2B， 　　∴，x1＋x2＝8，故弦AC的中点的横坐标x＝4； 　　(3)将x＝4代入y＝kx＋m(k≠0)，故点M的坐标为(4，4k＋m)，则kOM＝＝，又kAC＝＝，由＝1，＝1，两式相减得＝，即·＝，·＝，k＝，∴4k＋m＝，点M(4，)又点M(4，)在椭圆＝1内，所以，解得，即m的取值范围为() 　　分析：本题首先利用椭圆的定义将其方程求出；然后利用已知条件将弦的中点横坐标找出；最后一个问题要注意挖掘隐含条件即相应的弦中点一定在椭圆内．