Question

（06年天津卷理）（12分）

已知函数其中为参数，且

       （I）当时，判断函数是否有极值；

       （II）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

       （III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。

Answer 1

解析： （I）当时则在内是增函数，故无极值。

（II）令得

             

       由（I），只需分下面两种情况讨论。

       ①当时，随的变化，的符号及的变化情况如下表：

		0
	＋	0	－	0	＋
		极大值		极小值

       因此，函数在处取得极小值且

             

       要使必有可得

             

       由于故

              或

       ②当时，随的变化，的符号及的变化情况如下表：

				0
	＋	0	－	0	＋
		极大值		极小值

 

       因此，函数在处取得极小值且

             

       若则矛盾。所以当时，的极小值不会大于零。

       综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为

             

       （III）由（II）知，函数在区间与内都是增函数。

       由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组

              　　　或

       由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有即

       综上，解得或所以的取值范围是

             

【高考考点】运用导数研究函数的单调性及极值　解不等式等基础知识

【易错点】：求极小值以及利用导函数大于零区间即原函数增区间列出不等式组

【备考提示】：掌握利用导数的方法求解函数单调性问题的基本方法