Question

已知双曲线的一个焦点与抛物线x²=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（　　）

• A、

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• B、

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• C、

  y2

  9

  -

  x2

  16

  =1
• D、

  y2

  16

  -

  x2

  9

  =1

Answer 1

分析：根据抛物线方程，算出其焦点为F（0，5）．由此设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，根据基本量的平方关系与渐近线方程的公式，建立关于a、b的方程组解出a、b的值，即可得到该双曲线的标准方程．

解答：解：∵抛物线x²=20y中，2p=20，

p

2

=5，
∴抛物线的焦点为F（0，5），
设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵双曲线的一个焦点为F（0，5），且渐近线的方程为3x±4y=0即y=

3

4

x，
∴

a2+b2 =c=5 a b = 3 4

，
解得

a=3 b=4

（舍负），
可得该双曲线的标准方程为

y2

9

-

x2

16

=1．
故选：C

点评：本题给出双曲线与已知抛物线有一个焦点重合，在已知渐近线的情况下求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．