Question

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（2）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0＜p＜q＜

1

a

，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=0求出x的值，写出与x轴交点的坐标，将此坐标代入到f（x）解析式中，得到关于a的方程，由a不为0，求出a的值即可；
（2）由p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，设出f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），然后根据已知的p与q的范围，判定得到a（x-p）（x-q）大于0，即可得到f（x）大于g（x）；由f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），以及g（x）=x-a，表示出f（x），代入f（x）-（p-a）中，因式分解后，判定其积小于0，从而得到f（x）小于p-a，得证．

解答：解：（1）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），（2分）
∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a³+a²=0．（4分）
而a≠0，∴a=-1． （6分）
（2）由题意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）．（8分）
当x∈（0，p）时，∵0＜x＜p＜q＜

1

a

，
∴a（x-p）（x-q）＞0，
即当x∈（0，p）时，f（x）-g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．（10分）
又f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
当x∈（0，p）时，x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a，
综上可知，g（x）＜f（x）＜p-a．（14分）

点评：此题考查一次函数及二次函数的图象与性质，以及不等式的证明．根据题意设出f（x）-g（x）是解本题的关键，证明不等式的方法是灵活运用“作差法”．