精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

解：（Ⅰ）选手甲答3道题可进入决赛的概率为 $\text{[math]}$ ； …1分
选手甲答4道题可进入决赛的概率为 $\text{[math]}$ ；…3分
选手甲答5道题可进入决赛的概率为 $\text{[math]}$ ； …5分
∴选手甲可进入决赛的概率 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …7分
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…10分
因此，有

ξ	3	4	5
p	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ． …12分．
分析：（Ⅰ）由于答对3题者直接进入决赛，故可分为三类：一类是三题全对；一类是答4题，前3题错一题，第4题答对；一类是答5题，前4题错两题，第5题答对，故可求求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出ξ的分布列，进而可求概率．
点评：本题的考点是离散型随机变量的期望与方差，主要考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．

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