已知函数,其图象为曲线
,点
为曲线
上的动点,在点
处作曲线
的切线
与曲线
交于另一点
,在点
处作曲线
的切线
.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当点时,
的方程为
,求实数
和
的值;
(Ⅲ)设切线、
的斜率分别为
、
,试问:是否存在常数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
(1)函数的单调递增区间是
和
;单调递减区间是
;(2)
,
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)将代入到函数
中,求导,解出
的
的取值范围,从而能够写出函数的单增区间和单减区间;(2)将切点
代入到函数表达式中,求出
的关系,再将
代入到
中,求出最终
的值;(3)设
,写出函数在
处的切线,并与曲线联立,得到关于
的方程
,再设
,根据韦达定理表示出
,再利用
,得出
,化简成
,则能够得到
,进而能够求出
的值.
试题解析:(1)当时,
则,解得
或
;
,解得
∴函数的单调递增区间是
和
;单调递减区间是
.
(Ⅱ)由题意得,即
,
解得
∴实数和
的值分别是
和
.
(Ⅲ)设,则
,
联立方程组
由②代入①整理得
设,则由韦达定理得
,∴
由题意得;
假设存在常数使得
,则
,
即,∴
,解得
所以当时,存在常数
使得
;
当时,不存在
,使得
.
考点:1.函数的单调区间,2.曲线的切线方程,3.函数存在性问题.
科目:高中数学 来源:2013年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:选择题
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科目:高中数学 来源:2013年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:选择题
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科目:高中数学 来源:2014届宁夏高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分)
已知函数,其图象在点(1,
)处的切线方程为
(1)求a,b的值;
(2)求函数的单调区间,并求出
在区间[—2,4]上的最大值。
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