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已知函数,其图象为曲线,点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一点,在点处作曲线的切线.

(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;

(Ⅱ)当点时,的方程为,求实数的值;

(Ⅲ)设切线的斜率分别为,试问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1)函数的单调递增区间是;单调递减区间是;(2);(3).

【解析】

试题分析:(1)将代入到函数中,求导,解出的取值范围,从而能够写出函数的单增区间和单减区间;(2)将切点代入到函数表达式中,求出的关系,再将代入到中,求出最终的值;(3)设,写出函数在处的切线,并与曲线联立,得到关于的方程,再设,根据韦达定理表示出,再利用,得出,化简成,则能够得到,进而能够求出的值.

试题解析:(1)当时,

,解得

,解得

∴函数的单调递增区间是;单调递减区间是.

(Ⅱ)由题意得,即

解得 

∴实数的值分别是

(Ⅲ)设,则

联立方程组

由②代入①整理得 

,则由韦达定理得,∴

由题意得

假设存在常数使得,则

,∴,解得

所以当时,存在常数使得

时,不存在,使得 .          

考点:1.函数的单调区间,2.曲线的切线方程,3.函数存在性问题.

 

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