Question

已知O为坐标原点，

OA

=(2sin2x，1)，

OB

=(1，-2

3

sinxcosx+1)，f(x)=-

1

2

OA

•

OB

+1．
（1）求y=f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移

π

6

个单位后，所得图象对应的函数为g（x），且α∈[

π

6

，  

2π

3

]，  β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，g(α)=

3

5

，  g(β)=-

4

5

，求cos2（α-β）-1的值．

Answer 1

分析：（1）由题设，由数量积坐标表示公式得到函数y=f（x）的解析式，再由周期公式求解即可；
（2）根据图象变换规则先求出g（x），再利用三角恒等变换公式结合角的变换，即可求cos2（α-β）-1的值．

解答：解：（1）由题设有，f(x)=-sin2x+

3

sinxcosx+

1

2

=

cos2x+ 3 sin2x

2

+

1

2

=sin(2x+

π

6

)，
∴函数y=f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
（2）由题设有g(x)=sin(x+

π

3

)，又g(α)=

3

5

，  g(β)=-

4

5

，
即sin(α+

π

3

)=

3

5

，  sin(β+

π

3

)=-

4

5

，
因为α∈[

π

6

，  

2π

3

]，  β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，所以α+

π

3

∈[

π

2

，  π]，   β+

π

3

∈(-

π

2

，  0)，
∴cos(α+

π

3

)=-

4

5

，  cos(β+

π

3

)=

3

5

．
∴sin(α-β)=sin[(α+

π

3

)-(β+

π

3

)]=sin(α+

π

3

)cos(β+

π

3

)-cos(α+

π

3

)sin(β+

π

3

)=

3

5

•

3

5

-(-

4

5

)•(-

4

5

)=-

7

25

，
所以cos2(α-β)-1=-2sin2(α-β)=-2×(-

7

25

)2=-

98

625

．

点评：本题考查向量的数量积公式，三角恒等变换公式，角的变换技巧，属于能力型，探究型题，综合性强，解题的关键是熟练掌握公式及能观察出角之间的关系