Question

已知函数f（x）=ax²+（a²+1）x+1（-3＜a＜-1）若m＜n，m+n=3+a则（　　）

A．f（m）＜f（n）

B．f（m）=f（n）

C．f（m）＞f（n）

D．f（m）与f（n）的大小不能确定

Answer 1

分析：根据题意可知函数f（x）=ax²+（a²+1）x+1为开口向下的抛物线，函数的对称轴为x=-

a2+1

2a

，可根据-3＜a＜-1，确定其取值范围，再结合条件m＜n，m+n=3+a，分析m、n哪个离对称轴远，从而得到答案．

解答：解：∵-3＜a＜-1，函数的对称轴为x=-

a2+1

2a

=-

a

2

-

1

2a

=

1

2

（-a-

1

a

），
令t=-a，则1＜t＜3，x=

1

2

（t+

1

t

），
∵x′=

1

2

（1-

1

t2

）＜0，
∴x=

1

2

（t+

1

t

）在（1，3）上是减函数，
∴函数x=-

a2+1

2a

在（-3，-1）上单调递减，
∴x＞x（-1）=1，
x=-

a

2

-

1

2a

＜x（-3）=-

-3

2

-

1

2×(-3)

=

5

3

，即对称轴x=-

a2+1

2a

∈（1，

5

3

），
又m＜n，m+n=3+a，

m+n

2

=

3+a

2

∈（0，1），
∴m比n离对称轴较远，由-3＜a＜-1＜0得，函数f（x）=ax²+（a²+1）x+1为开口向下的抛物线，
故f（m）＜f（n）．
故选A．

点评：本题考查二次函数的性质，难点在于对称轴x=-

a2+1

2a

范围的确定与

m+n

2

=

3+a

2

∈（0，1）的理解与应用，属于难题．