Question

20．直线2x+3y-6=0与圆x²+y²+2x-6y+m=0的两个交点A，B，坐标原点为O，OA⊥OB，求实数m的值．

Answer 1

分析 设A、B的横坐标分别为x₁，x₂，把直线2x+3y-6=0代入圆C的方程利用韦达定理求得x₁+x₂=$\frac{30}{13}$，x₁•x₂=$\frac{9m-72}{13}$．再根据OA⊥OB，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=0，求得m的值．

解答 解：设A、B的横坐标分别为x₁，x₂，把直线2x+3y-6=0代入圆x²+y²+2x-6y+m=0，
可得13x²-30x+9m-72=0，∴x₁+x₂=$\frac{30}{13}$，x₁•x₂=$\frac{9m-72}{13}$．
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=0，即$\frac{13}{9}$x₁•x₂-$\frac{4}{3}$（x₁+x₂）+4=0，即$\frac{13}{9}$•$\frac{9m-72}{13}$-$\frac{4}{3}$•$\frac{30}{13}$+4=0，
求得m=$\frac{92}{13}$．此时△=900-52（9m-72）＞0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系、韦达定理、两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于中档题．