Question

已知两条直线l₁：y=m和l₂：y=

4

m+1

（m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A、B，l₂与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于C、D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b，当m变化时，

b

a

的最小值为（　　）

• A、16
• B、8
• C、8

  2

• D、4

  2

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，依题意可求得为x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，利用基本不等式可求最小值

解答： 解：在同一坐标系中作出y=m，y=

4

m+1

（m＞0），与y=|log₂x|的图象，
解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，
则由|log₂x|=m，解得x_A=2^-m，x_B=2^m；
由|log₂x|=

4

m+1

（m＞0），解得x_C=2-

4

m+1

，x_D=2

4

m+1

；
∴a=|x_A-x_C|=|2^-m-2-

4

m+1

|
b=|x_B-x_D|=|2^m-2

4

m+1

|，
则

b

a

=

|2m-2- 4 m+1 |

|2-m-2 4 m+1 |

=2^m•2

4

m+1

•

|2m-2 4 m+1 |

|2m-2 4 m+1 |

=2^m•2

4

m+1

=2m+

4

m+1

=2m+1+

4

m+1

-1≥22

(m+1)• 4 m+1

-1=2^4-1=2³=8，
当且仅当m+1=

4

m+1

，即m=1时取“=”号，
∴

b

a

的最小值为8，
故选：B．

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键，属中档题．