Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=PB，∠ABC=

π

3

，∠BCA=

π

2

，点D、E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；
（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；
（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=

1

2

BC．
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．
又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=

1

2

AB．
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=

1

2

AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AD

=

BC

2AD

=

2

4

，
即AD与平面PAC所成角的正弦值为

2

4

．
（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．
这时，∠AEP=90°，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．

点评：考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．