Question

18．如图，A是两条平行直线之间的一定点，且点A到两平行直线的距离分别为AM=1，AN=$\sqrt{2}$，设△ABC，AC⊥AB，且顶点B、C分别在两平行直线上运动，则
（1）△ABC面积的最小值为$\sqrt{2}$；
（2）$\frac{1}{AB}+\frac{{\sqrt{2}}}{AC}$的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 要求△ABC的面积，想着先求AB，AC，根据条件设∠MAB=θ，则∠CAN=$\frac{π}{2}$-θ，AB=$\frac{1}{cosθ}$，AC=$\frac{\sqrt{2}}{sinθ}$，从而便能求出S_△ABC=$\frac{\sqrt{2}}{2sinθcosθ}$=$\frac{\sqrt{2}}{sin2θ}$，所以sin2θ=1时面积最小．将AB，AC分别带入$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{2}}{AC}$即可求得最大值即可．

解答 解：（1）设∠MAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）则：∠CAN=$\frac{π}{2}$-θ，AB=$\frac{1}{cosθ}$，AC=$\frac{\sqrt{2}}{cos（\frac{π}{2}-θ）}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinθ}$；
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{cosθ}$•$\frac{\sqrt{2}}{sinθ}$=$\frac{\sqrt{2}}{sin2θ}$≥$\sqrt{2}$；
当sin2θ=1，θ=$\frac{π}{4}$时取等号．
∴△ABC面积的最小值为：$\sqrt{2}$．
（2）$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{2}}{AC}$=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
当θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，θ=$\frac{π}{4}$时取等号．
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{2}}{AC}$的最大值为：$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$．

点评 设∠MAB=θ，并将AB，AC表示出来是求解本题的关键．本题考查直角三角形边和角的关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的最大值．