Question

【题目】已知函数f（x）的实义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．则不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集为（ ）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，﹣1）
C.（﹣1，1）
D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由题意设g（x）=（x+1）f（x），
则g′（x）=f（x）+（x+1）f′（x），
∵当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，
∴当x＜﹣1时，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，
则g（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，
∵函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，
∴函数f（x﹣1）的图象关于点（0，0）中心对称，
则函数f（x﹣1）是奇函数，
令h（x）=g（x﹣1）=xf（x﹣1），
∴h（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）递增，
由偶函数的性质得：函数h（x）在（0，+∞）上递减，
∵h（1）=f（0），∴不等式xf（x﹣1）＞f（0）化为：h（x）＞h（1），
即|x|＜1，解得﹣1＜x＜1，
∴不等式的解集是（﹣1，1），
故选C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．