Question

【题目】已知函数f（x）= ，
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数

（2）解：由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数，最大值f（4）= ，最小值f（1）=
【解析】（1）本小题根据函数的单调性的定义来判断所给函数的增减性即可；（2）本小题结合函数的单调性求函数的最值即可.
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．