(1)求F在何处时,EF⊥平面PBC.
(2)在(1)的条件下,EF是否是PC与AD的公垂线段?若是,求出公垂线段的长度;若不是,请说明理由.
(3)在(1)的条件下,求直线BD与平面BEF所成的角.
解:(1)以A为坐标原点,以射线AD,AB,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0, ),A(0,0,0),B(0,
,0),C(2,
,0),D(2,0,0),E(1,0,0).?
∵F在PC上,∴可令PF=λ
.?
设F(x,y,z),=(2,0,0),
=(2,2,-2),
=(x-1,y,z). ?
∵EF⊥平面PBC,∴·
=0且
·
=0.??
又=λ
,可得λ=
,x=1,y=z=
,故F为PC的中点. ?
(2)由(1)可知EF⊥PC,且EF⊥BC,即EF⊥AD.?
∴EF是PC与AD的公垂线段,其长为||=1. ?
(3)由(1)可知=(2,
,-
)即为平面BEF的一个法向量,
而=(2,-
,0). ?
设BD与平面BEF所成角为θ,则sinθ=cos〈,
〉=
=
.
∴θ=arcsin.?
故BD与平面BEF所成角为arcsin.
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