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如图,在四棱锥PABCD中,底面是矩形且AD=2,AB=PA=,PA⊥底面ABCD,EAD的中点,FPC上.

(1)求F在何处时,EF⊥平面PBC.

(2)在(1)的条件下,EF是否是PCAD的公垂线段?若是,求出公垂线段的长度;若不是,请说明理由.

(3)在(1)的条件下,求直线BD与平面BEF所成的角.

          

解:(1)以A为坐标原点,以射线AD,AB,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0, ),A(0,0,0),B(0,,0),C(2,,0),D(2,0,0),E(1,0,0).?

FPC上,∴可令PF=λ.?

F(x,y,z),=(2,0,0),=(2,2,-2),=(x-1,y,z).                                  ?

EF⊥平面PBC,∴·=0且·=0.??

=λ,可得λ=,x=1,y=z=,故FPC的中点.                                ?

(2)由(1)可知EFPC,且EFBC,即EFAD.?

EFPCAD的公垂线段,其长为||=1.                                                        ?

(3)由(1)可知=(2,,-)即为平面BEF的一个法向量,

=(2,-,0).                                                                                                 ?

BD与平面BEF所成角为θ,则sinθ=cos〈,〉==.

θ=arcsin.?

BD与平面BEF所成角为arcsin.

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2
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