Question

设函数f(x)=x+

a

x

（a∈R），函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于点A（1，2）对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若关于x的方程g（x）=a有且仅有一个实数解，求a的值，并求出方程的解；
（3）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求函数g（x）的解析式，先设P（x，y）为图象C₂上任意一点，P关于点A对称的点为P'（x'，y'），根据对称性求出P与P′坐标的关系，利用P'（x'，y'）在C₁上，即可求得函数g（x）的解析式；
（2）由g（x）=a得x+2+

a

x-2

=a，整理得x²-ax+（3a-4）=0接下来讨论此方程解的情况：若x=2是方程①的解，则a=0，此时方程①有两个实数解x=2和x=-2，原方程有且仅有一个实数解x=-2；若x=2不是方程①的解，则由△=a²-12a+16=0，解得a=6±2

5

即可；
（3）利用函数单调性的定义求解，先设x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，因为函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，所以f（x₂）-f（x₁）＞0据此即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y）为图象C₂上任意一点，P关于点A对称的点为P'（x'，y'），
则

x+x′

2

=1，

y+y′

2

=2，于是x'=2-x，y'=4-y，（2分）
因为P'（x'，y'）在C₁上，所以y′=x′+

a

x′

，即4-y=2-x+

a

2-x

，y=x+2+

a

x-2

．
所以g(x)=x+2+

a

x-2

．（5分）
（2）由g（x）=a得x+2+

a

x-2

=a，整理得x²-ax+（3a-4）=0①（7分）
若x=2是方程①的解，则a=0，此时方程①有两个实数解x=2和x=-2，原方程有且仅有一个实数解x=-2；（8分）
若x=2不是方程①的解，则由△=a²-12a+16=0，解得a=6±2

5

．（9分）
所以，当a=0时，方程的解为x=-2；（10分）
当a=6+2

5

时，方程的解为x=3+

5

；（11分）
当a=6-2

5

时，方程的解为x=3-

5

．（12分）
（3）设x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
因为函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，所以f（x₂）-f（x₁）＞0．（14分）f(x2)-f(x1)=x2+

a

x2

-x1-

a

x1

=x2-x1+

a(x1-x2)

x1x2

=(x2-x1)•

x1x2-a

x1x2

＞0，
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以x₁x₂-a＞0，即a＜x₁x₂，（16分）
而x₁x₂＞4，所以a≤4．（17分）
因此a的取值范围是（-∞，4]．（18分）

点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的性质、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．