Question

平面内与两定点A₁（-2，0），A₂（2，0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁，A₂两点，所成的曲线C可以是圆，椭圆或双曲线．
（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系．
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（-∞，-1），对应的曲线为C₂，若曲线C₁的斜率为1的切线与曲线C₂相交于A，B两点，且

OA

•

OB

=2（O为坐标原点），求曲线C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点M（x，y），由条件可得mx²-y²=4m（x≠±2），对m分m＜-1，m=-1，当-1＜m＜0及m＞0四种情况讨论即可；
（Ⅱ）将AB的方程y=x+b，①与椭圆方程

x2

4

+

y2

(-4m)

=1（m＜-1）联立，利用韦达定理再结合

OA

•

OB

=2即可求得m的值．

解答：解：（I）设动点为M，其坐标为（x，y），
当x≠±2时，由条件可得kMA1•kMA2=

y

x+2

•

y

x-2

=

y2

x2-4

=m，
即mx²-y²=4m（x≠±2），
又A₁（-2，0），A₂（2，0）的坐标满足mx²-y²=4m，
故依题意，曲线C的方程为mx²-y²=4m，
当m＜-1时，曲线C的方程为

x2

4

+

y2

(-4m)

=1，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=4，C是圆心在原点，半径为2的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为

x2

4

+

y2

(-4m)

=1，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为

x2

4

-

y2

4m

=1，C是焦点在x轴上的双曲线；…6
（Ⅱ）曲线C₁：x²+y²=4，C₂：为

x2

4

+

y2

(-4m)

=1（m＜-1），
设圆C₁的斜率为1的切线AB和椭圆C₂交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
令AB的方程为y=x+b，①
将其代入椭圆C₂的方程并整理得：（1-m）x²+2bx+b²+4m=0，
由韦达定理得：x₁+x₂=-

2b

1-m

，：x₁x₂=

b2+4m

1-m

，②
∵

OA

•

OB

=2，
∴x₁x₂+y₁y₂=2，③
将①代入③并整理得：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=2联立②得：
b2=

2-10m

1-m

④
因为直线AB和圆C₁相切，
因此2=

|b|

2

，b²=8，
由④得m=-3，
所以曲线C₂的方程3x²+y²=12，即

y2

12

+

x2

4

=1．-------（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查圆锥曲线的轨迹问题，突出化归思想、分类讨论思想、方程思想的考查，综合性强，难度大，属于难题．