Question

12．已知点P（2，1），点Q（a，2）
（1）求过点P、点Q的直线方程；
（2）求过点P且与两坐标轴截距相等的直线方程；
（3）过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求|PA|•|PB|的值最小时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）当a=2时直线不存在斜率其方程为x=2，当a≠2时，利用两点连线的斜率公式求出PQ的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线方程即可；
（2）分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程；
（3）设∠BAO=θ，由 PA•PB，可得 2θ=90°时，PA•PB 取最小值，此时，直线的倾斜角为135°，斜率为-1，用点斜式求得直线l的方程．

解答 解：（1）①当a=2时，直线l的方程为x=2．
②当a≠2时，k_PQ=$\frac{2-1}{a-2}$=$\frac{1}{a-2}$，
又经过点P（2，1），由点斜式得方程：y-1=$\frac{1}{a-2}$（x-2）
即：x-（a-2）y+a-4=0；
（2）①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，
把P（2，1）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，
把（2，1）代入所求的方程得：k=$\frac{1}{2}$，则所求直线的方程为y=2x即x-2y=0．
综上，所求直线的方程为：x-2y=0或x+y-3=0；
（3）：如图所示：设∠BAO=θ，0°＜θ＜90°，PA=$\frac{1}{sinθ}$，PB=$\frac{2}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{2}{sinθ•cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$，∴2θ=90°，即θ=45°时，
|PA|•|PB|取最小值，此时，直线的倾斜角为135°，斜率为-1，直线l的方程为y-1=-1（x-2），
化简可得x+y-3=0．

点评 此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．