Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点F₁、F₂，离心率为

1

2

，双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），直线x=2与双曲线的交点为A、B，且|AB|=

4 21

3

．
（Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；
（Ⅱ）过点F₂的直线l与椭圆交于M、N两点，交双曲线与P、Q两点，当△F₁MN（F₁为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，求△F₁PQ的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

a2-b2 a = 1 2 2 4a2 b2 +a2 = 4 21 3

，由此能求出椭圆和双曲线方程．
（Ⅱ）设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，由韦达定理和弦长公式推导出△F₁MN（F₁为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，过点F₂的直线l的方程为x=1，由此能求出△F₁PQ的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

a2-b2 a = 1 2 2 4a2 b2 +a2 = 4 21 3

，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，双曲线方程为

y2

4

-

x2

3

=1．
（Ⅱ）∵三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁MN的周长是定值8，
∴只需求出△F₁MN面积的最大值．
设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
于是S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=12

m2+1 (3m2+4)2

．
∵

m2+1

(3m2+4)2

=

1

9m2+15+ 1 m2+1

=

1

9(m2+1)+ 1 m2+1 +6

≤

1

16

，
当且仅当m=0时，△F₁MN（F₁为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值，
∴△F₁MN（F₁为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，过点F₂的直线l的方程为x=1，
联立

x=1 y2 4 - x2 3 =1

，得P（1，

4 3

3

），Q（1，-

4 3

3

），F₁（-1，0），
∴|PF₁|=|QF₁|=

(1+1)2+( 4 3 3 -0)2

=

2 21

3

，|PQ|=

8 3

3

，|F₁F₂|=2，
∴△F₁PQ的面积S=

1

2

×|PQ|×|F1F2|=

1

2

×

8 3

3

×2=

8 3

3

．

点评：本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式的合理运用．