【题目】如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,且,为棱的中点,作交于点.
(1)证明:平面;
(2)若面与面所成二面角的大小为,求与面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2).
【解析】
(1)先证,结合已知条件,即可求证;
(2)建立空间直角坐标系,由二面角大小求得长度,再用线面角的定义即可求解.
(1)因为平面,平面,故;
又因为四边形为矩形,故可得;
又平面,且,
故可得平面;
又因为平面,故可得,
又因为,为中点,故,
结合平面,,
故可得平面,
又因为平面,则.
由题可知,又平面,,
即证平面.
(2)因为平面,且底面为矩形,
故可得两两垂直.
则以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,
如下图所示:
不妨设,故可得
,
由(1)中所得可知为平面的法向量,
容易知是平面的一个法向量.
又因为面与面所成二面角的大小为,
故可得,解得.
又因为平面,故可得即为所求.
在中,.
故与面所成角的正弦值为.
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【题目】男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
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【题目】若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数的图象上;②关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”).已知函数(且),若此函数的“友好点对”有且只有一对,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
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【题目】随着“中华好诗词”节目的播出,掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好,从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生,记录他们每天学习“中华诗词”的时间,并整理得到如下频率分布直方图:
根据学生每天学习“中华诗词”的时间,可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :
(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生,试估计其“爱好”中华诗词的概率;
(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人,记为选出的两人中甲大学的人数,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小,及方差与的大小.(只需写出结论)
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【题目】节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.
(1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;
(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
(参考数据:取)
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【题目】已知椭圆的左顶点为,右焦点为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,直线分别与轴交于点,在轴上,是否存在点,使得无论非零实数怎样变化,总有为直角?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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