Question

某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点．
（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；
（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）

Answer 1

解：（1）由曲线过点，可得，故a=8…（2分）
当0＜x＜1时，，…（3分）
当x≥1时，设2^x-1=t，可知t≥1，（当且仅当t=1时，y=4）…（5分）
综上可知y_max=4，且当y取最大值时，对应的x值为1
所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时． …（6分）
（2）当0＜x＜1时，由，可得x²-8x+1=0，
解得，又，故． …（8分）
当x≥1时，设2^x-1=t，则t≥1，
由，可得，解得，
又t≥1，故，所以，
可得．　　　　　　　　 …（12分）
由图象知当y≥1时，对应的x的取值范围是，
∵，
所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间． …（14分）
分析：（1）由曲线过点，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y的最大值）与达峰时间；
（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．