Question

【题目】已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R，且 =m，求证：a+2b+3c≥9．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，

即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．

（2）证明：由a，b，c∈R，且 =1，

∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）

=1+ +1+ +1

=3+ + ≥3+6=9，当且仅当 =1时，等号成立．

所以a+2b+3c≥9

【解析】（1）由条件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（2）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）=1+ +1+ +1，利用基本不等式证明它大于或等于9．
【考点精析】利用不等式的证明对题目进行判断即可得到答案，需要熟知不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．