Question

求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（-3，2）；
（2）焦点在直线x-2y-4=0上．

Answer 1

分析：（1）设所求的抛物线方程为y²=-2px或x²=2py，把点（-3，2）代入即可求得p，则抛物线方程可得，根据抛物线的性质求得准线方程．
（2）令x=0，y=0代入直线方程分别求得抛物线的焦点，进而分别求得p，则抛物线的方程可得．根据抛物线的性质求得准线方程．

解答：解：（1）设所求的抛物线方程为y²=-2px或x²=2py（p＞0），
∵过点（-3，2），
∴4=-2p（-3）或9=2p•2．
∴p=

2

3

或p=

9

4

．
∴所求的抛物线方程为y²=-

4

3

x或x²=

9

2

y，前者的准线方程是x=

1

3

，后者的准线方程是y=-

9

8

．
（2）令x=0得y=-2，令y=0得x=4，
∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，-2）．
当焦点为（4，0）时，

p

2

=4，
∴p=8，此时抛物线方程y²=16x；
焦点为（0，-2）时，

p

2

=2，
∴p=4，此时抛物线方程为x²=-8y．
∴所求的抛物线的方程为y²=16x或x²=-8y，
对应的准线方程分别是x=-4，y=2．

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论．