Question

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，左、右两焦点分别为F₁、F₂，焦距为2c，抛物线C以F₂为顶点，F₁为焦点，点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，则e的值为（　　）

• A、

  3

• B、3
• C、

  2

• D、

  6

Answer 1

分析：作出图象，结合图象知抛物线准线的方程为x=3c，根据抛物线的定义可得|PF₁|=|PR|=3c-x₀，根据双曲线的第二定义可得

|PF2|

x0- a2 c

=e，由已知a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，可得e=

3

．

解答：解：如右图所示，设点P的坐标为（x₀，y₀），由抛物线以F₂为顶点，F₁为焦点，可得其准线的方程为x=3c，
根据抛物线的定义可得|PF₁|=|PR|=3c-x₀，又由点P为双曲线上的点，
根据双曲线的第二定义可得

|PF2|

x0- a2 c

=e，即得|PF₂|=ex₀-a，
由已知a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，可得-a²+3c²=8a²，即e²=3，由e＞1可得e=

3

，
故选A．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要结合题设条件，作出图象，数形结合进行求解．