Question

已知函数f（x）=x²e^-ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的图象在x=-1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（-1，f（-1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=-1代入到f（x）中求出f（-1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）先求导数，分三种情况讨论：①当a=0时和②当a＜0时，③当a＜0时；讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=x²e^-x，f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=（2x-x²）e^-x．
所以f（-1）=e，f′（-1）=-3e（2分）
从而f（x）的图象在x=-1处的切线方程为y-e=-3e（x+1），即y=-3ex+4e．（4分）
（Ⅱ）f′（x）=2xe^-ax-ax²e^ax=（2x-ax²）e^-ax．
①当a=0时，若x＜0，则f′（x）＜0，若x＞0，则f'（x）＞0．（6分）
所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
②当a＞0时，由2x-ax2＜0，解得x＜0或x＞

2

a

，
由2x-ax2＞0，解得0＜x＜

2

a

．
所以当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，

2

a

）内为增函数，在区间（

2

a

，+∞）内为减函数．（9分）
③当a＜0时，由2x-ax²＜0，解得

2

a

＜x＜0，
由2x-ax²＞0，解得x＜

2

a

或x＞0．
所以，当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，

2

a

）内为增函数，在区间（

2

a

，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．（12分）
综上所述：①当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
②当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，

2

a

）内为增函数，在区间（

2

a

，+∞）内为减函数；
③当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，

2

a

）内为增函数，在区间（

2

a

，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．（14分）

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．