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【题目】已知函数的图象经过点,且在点处的切线方程为.

(1)求函数的解析式;

(2)求函数的单调区间

【答案】

【解析】

(1)求出导函数题意说明,由此可求得

(2)解不等式得增区间,解不等式得减区间.

(1)f(x)的图象经过P(0,2),d=2,

f(x)=x3+bx2+ax+2,f'(x)=3x2+2bx+a.

∵点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0

f'(x)|x=1=3x2+2bx+a|x=1=3﹣2b+a=6

还可以得到,f(﹣1)=y=1,即点M(﹣1,1)满足f(x)方程,得到﹣1+b﹣a+2=1

由①②联立得b=a=﹣3 故所求的解析式是f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2.

(2)f'(x)=3x2﹣6x﹣3.令3x2﹣6x﹣3=0,即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1- ,x2=1+.

x<1-,x>1+时,f'(x)>0;当1-<x<1+时,f'(x)<0.

f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣),(1+,+∞);单调减区间为(1﹣,1+

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