Question

16．（理）如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：
①存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；
②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；
③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；
④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；
⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．
其中正确命题的序号是①②④⑤（把你认为正确命题的序号填上）．

Answer 1

分析 ①，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形；
②，取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，利用长方体一定有外接球即可得出；
③，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点；
④，作△CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体ABCD是正三棱锥．
⑤过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，；

解答 解：对于①，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形，故正确；
对于②，∵二面角C-OA-B为直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，则点O在四面体ABCD的外接球球面上，故正确；
对于③，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点，故错
④作△CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体ABCD是正三棱锥，故正确．
⑤过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，故正确；
故答案为：①②④⑤

点评 本题考查了长方体的性质、四面体的性质、线面垂直的判定与性质，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题