【题目】已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则(其中a+c≠0)的取值范围为_____.
【答案】(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞)
【解析】
由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1,ab=1, 即c=-b将转为(a﹣b)+,利用基本不等式求得它的范围.
因为一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},由二次函数图像的性质可得a>0,二次函数的对称轴为x==c,△=4﹣4ab=0,
∴ac=﹣1,ab=1,∴c=,b=,即c=-b,
则==(a﹣b)+,
当a﹣b>0时,由基本不等式求得(a﹣b)+≥6,
当a﹣b<0时,由基本不等式求得﹣(a﹣b)﹣≥6,即(a﹣b)+≤﹣6,
故(其中a+c≠0)的取值范围为:(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞),
故答案为:(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞).
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【题目】某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情况,从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:
(1)求的值;
(2)若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛,并从中选出2人做种子选手,求2人中至少有1人是第4组的概率.
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【题目】已知动点P与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为2,点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)过点(﹣1,0)作直线与曲线C交于A,B两点,设点M坐标为(4,0),求△ABM面积的最大值.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点,B在x轴的上方,且点B的横坐标为4.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设点P为抛物线C上异于A,B的点,直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E,G两点,x轴与准线的交点为H,求证:HGHE为定值,并求出定值.
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【题目】某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2,海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB,且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段MPN是函数图象的一段,点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米,点N到l2的距离为10千米,以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设点P的横坐标为p.
(1)求曲线段MPN的函数关系式,并指出其定义域;
(2)若某人从点O沿公路至点P观景,要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近,求p的取值范围.
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【题目】下列命题中
(1)在等差数列中,是的充要条件;
(2)已知等比数列为递增数列,且公比为,若,则当且仅当;
(3)若数列为递增数列,则的取值范围是;
(4)已知数列满足,则数列的通项公式为
(5)若是等比数列的前项的和,且;(其中、是非零常数,),则A+B为零.
其中正确命题是_________(只需写出序号)
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【题目】在正四面体ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,则下列命题正确的序号是______
①异面直线AB与CD所成角为90°;
②直线AB与平面BCD所成角为60°;
③直线EF∥平面ACD
④平面AFD⊥平面BCD.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,四边形为矩形, 为等腰三角形, ,平面平面,且, , 分别为的中点.
(1)证明: 平面;
(2)证明:平面平面;
(3)求四棱锥的体积.
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