Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=a^x•g（x）（a＞0，a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），
若

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，则log_ax＞1成立的x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由已知本题可以采用构造函数的方法来处理，此处由已知函数式f（x）=a^x•g（x）来构造函数a^x=

f(x)

g(x)

较为自然，再利用函数的导数可知a^x=

f(x)

g(x)

是一个减函数，从而可确定参数a的范围：0＜a＜1，进一步来求解不等式log_ax＞1．

解答：解：由已知g（x）≠0，所以得a^x=

f(x)

g(x)

，于是有（a^x）′=

f(x)g′(x)-g(x)f′(x)

g2(x)

＜0成立，
    所以a^x=

f(x)

g(x)

是R上的增函数，即有  0＜a＜1
    又由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，代入得a¹+a^-1=

5

2

，得a=

1

2

    所以有：log_ax=log

1

2

x＞1=log

1

2

1

2

，可得0＜x＜

1

2

故答案为：（0，

1

2

）

点评：本题考查抽象函数的概念及其应用，构造函数的技巧，函数导数，函数乘积的导数的应用，利用函数导数判断
函数的单调性的性质的考查含参数的式子的处理．