【题目】已知以点C(t,) (t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N,若OM=ON,求圆C的方程.
【答案】解:(1)证明:由题设知,圆C的方程为(x﹣t)2+(y﹣)2=t2+,
化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0.
当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);
当x=0时,y=0或,则B(0,),
∴S△AOB=OAOB=|2t|||=4为定值.
(2)解∵OM=ON,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,
∴C、H、O三点共线,KMN=﹣2,则直线OC的斜率k===,
∴t=2或t=﹣2.
∴圆心为C(2,1)或C(﹣2,﹣1),
∴圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.
由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d>r,
此时不满足直线与圆相交,故舍去,
∴所求的圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.
【解析】(1)设出圆C的方程,求得A、B的坐标,再根据S△AOB=OAOB,计算可得结论.
(2)设MN的中点为H,则CH⊥MN,根据C、H、O三点共线,KMN=﹣2,由直线OC的斜率k=== , 求得t的值,可得所求的圆C的方程.
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【题目】如图是函数y=Asin(ωx+φ)( , )图
像的一部分.为了得到这个函数的图像,只要将y=sin x(x∈R)的图像上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.
B. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
C. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.
D. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.
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【题目】服装厂拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用()万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元,每生产万件该产品需要投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数;
(2)该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时,利润最大?
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【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为,直线与抛物线交于两点,过这两点分别作抛物线的切线,且这两条切线相交于点.
(1)若的坐标为,求的值;
(2)设线段的中点为,点的坐标为,过的直线与线段为直径的圆相切,切点为,且直线与抛物线交于两点,求的取值范围.
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【题目】已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)确定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.mα,nα,m∥β,n∥βα∥β
B.α∥β,mα,nβ,m∥n
C.m⊥α,m⊥nn∥α
D.m∥n,n⊥αm⊥α
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