Question

（文）已知椭圆

x2

16

+

y2

4

=1内一点A（1，1），则过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是

 

．

Answer 1

分析：设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①-②后化简得到一个关系式，然后根据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．

解答：解：设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则有

x12

16

+

y12

4

=1①，

x22

16

+

y22

4

=1②，
①-②式可得：

(x1-x2)(x1+x2)

16

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0，
又点A为弦EF的中点，且A（1，1），∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
即得k_EF=

y1-y2

x1-x2

=-

4(x1+x2)

16(y1+y2)

=-

4×2

16×2

=-

1

4

，
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y-1=-

1

4

(x-1)，即x+4y-5=0．
故答案为：x+4y-5=0

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．