Question

已知函数g(x)=ax³+bx²+cx(a∈R且a≠0)，g(-1)=0，g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)≤0．

    设x₁，x₂为方程f(x)=0的两根．

    (Ⅰ)求的取值范围；

    (Ⅱ)若当|x₁-x₂|最小时，g(x)的极大值比极小值大，求g(x)的解析式．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)∵g(x)=ax³+bx²+cx，

∴g(-1)=-a+b-c=0，即c=b-a．

又f(x)=3ax²+2bx+c，

∴f(0)f(1)≤0即为c(3a+2b+c)≤0．

∴(b-a)(3b+2a)≤0．

∵a≠0，∴(-1)(3·+2)≤0，

解得≤≤1．

又∵方程f(x)=3ax²+2bx+c(a≠0)有两根，

∴Δ≥0．

而Δ=(2b)²-4×3a×c=4b²-12a(b-a)=4(b-a)²+3a²＞0恒成立．

∴的取值范围是≤≤1．

(Ⅱ)∵方程f(x)=0即3ax²+2bx+c=0的两根为x₁，x₂，

∴x₁+x₂=，x₁x₂=,.

∴|x₁-x₂|²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=

∵≤≤1，

∴当且仅当=1，即a=b时|x₁-x₂|²取最小值，即a=b时|x₁-x₂|最小．

此时g(x)=ax³+ax²，

f(x)=3ax²+2ax=ax(3x+2)．

令f(x)=0，得x₁=，x₂=0．

当a＞0时，x，f(x)，g(x)的变化情况如下表：

x	(-,)		(,0)	0	(0,+)
f(x)	+	0	-	0	+
g(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴由表知：g(x)的极大值为g()=a，极小值为g(0)=0，由题知a-0=，解得a=9．

此时g(x)=9x³+9x²．

当a＜0时，x，f(x)，g(x)的变化情况如下表：

x	(,)	()	(,0)	0	(0,)
f(x)	-	0	+	0	-
g(x)	↘	极大值	↗	极小值	↘

∴由表知：g(x)的极大值为g(0)=0，极小值为g()=a，

由题知0-a=，解得a=-9．

此时g(x)=-9x³-9x²．