Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB∥DC，结合线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD；
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC=1，AB=2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即PA的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）∵AB∥CD
又∵AB?平面PCDCD?平面PCD
∴AB∥平面PCD
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE=DC=1
又AB=2，∴BE=1
在Rt△BEC中，∠ABC=45°
∴CE=BE=1，CB=

2

∴AD=CE=1
则AC=

AD2+CD2

=

2

，AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
（Ⅲ）∵M是PC中点，
∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半
∴VM-ACD=

1

3

S△ACD•(

1

2

PA)=

1

3

×(

1

2

×1×1)×

1

2

=

1

12

．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想；属于立体几何中的基础题型．