Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，•的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，可设M、N分别是内切球在正方体左、右侧面的切点，运动点P并加以观察，可得当P与正方体的某个顶点重合时，•达到最大值；当P与正方体某个面的中心重合时，•达到最小值．由此结合数量积的计算公式，即可得到数量积•的取值范围．
解答：解：根据题意，MN是正方体内切球的最大弦长
∴MN是内切球的直径
设M、N分别是内切球在正方体左、右侧面的切点，如图
当P在正方体表面运动，它与正方体的某个顶点重合时，•达到最大值．
以C₁点为例，此时
•=•=•cos∠∠MC₁N=²=（）²=2；
当点P与正方体某个面的中心重合时，•达到最小值．
此时⊥，得•=0
综上所述，得数量积•的取值范围为[0，2]
故答案为：[0，2]
点评：本题给出正方体的内切球，求一个数量积的取值范围．着重考查了平面向量数量积的运算和正方体的性质等知识，属于基础题．