Question

已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长均为

2

，则过该棱锥的顶点S及底面正方形各边中点的球的体积为

 

．

Answer 1

分析：设球半径为R，底面中心为O'且球心为O．正四棱锥S-A′B′C′D′中A′B′=1，SA′=

6

2

，算出SO′=1，OO'=SO'-SO=1-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R，再利用球的体积公式即可得到外接球的体积．

解答：解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，
∵正四棱锥S-A′B′C′D′中A′B′=1，SA′=

6

2

，
∴A′O′=

2

2

，可得SO′=1，OO'=SO'-SO=1-R．
∵在Rt△A′OO'中，A′O²=A′O'²+OO'²，
∴R²=（

2

2

）²+（1-R）²，解之得R=

3

4

，
因此可得外接球的体积V=

4

3

πR³=

9

16

π．
故答案为：

9

16

π．

点评：本题给出正四棱锥的形状，求它的外接球的体积，着重考查了正棱锥的性质、多面体的外接球、勾股定理与球的体积公式等知识，属于中档题．