【题目】在四棱锥中,四边形为平行四边形, , , , 为的中点.
(1)求证: 平面;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)连接交于点,则为的中点,连接.由三角形中位线的性质可得,结合线面平行的判断定理可得平面.
(2)取的中点,连接, , .由几何关系可证得平面.且,则 .在中,由余弦定理可得 .由勾股定理可得,则等腰的面积为,设点到平面的距离为,利用体积相等列方程可得点到平面的距离为.
试题解析:
(1)连接交于点,
则为的中点,连接.
在中, ,
∵平面, 平面,
∴平面.
(2)取的中点,连接, , .
∵,∴,
又∵,∴,
∴,
∴,
∴,∴平面.
∵, , ,
∴, , ,∴,
∴ .
在中, , , ,
由余弦定理,得 .
∴,
∴的面积为,
设点到平面的距离为.
∵,
∴,∴.
即点到平面的距离为.
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【题目】甲乙两地相距海里,某货轮匀速行驶从甲地运输货物到乙地,运输成本包括燃料费用和其他费用.已知该货轮每小时的燃料费与其速度的平方成正比,比例系数为,其他费用为每小时元,且该货轮的最大航行速度为海里/小时.
()请将该货轮从甲地到乙地的运输成本表示为航行速度(海里/小时)的函数.
()要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线: 经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求出曲线、的参数方程;
(Ⅱ)若、分别是曲线、上的动点,求的最大值.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有( )
A. 所在平面B. 所在平面
C. 所在平面D. 所在平面
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【题目】甲乙两名运动员互不影响地进行四次设计训练,根据以往的数据统计,他们设计成绩均不低于8环(成绩环数以整数计),且甲乙射击成绩(环数)的分布列如下:
(I)求, 的值;
(II)若甲乙两射手各射击两次,求四次射击中恰有三次命中9环的概率;
(III)若两个射手各射击1次,记两人所得环数的差的绝对值为,求的分布列和数学期望.
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【题目】某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成,如图2.已知圆的半径为,设,圆锥的侧面积为.
(1)求关于的函数关系式;
(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
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【题目】在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是边长为6的正方形,PD平面ABCD,PD=8.
(1) 求PB与平面ABCD所成角的大小;
(2) 求异面直线PB与DC所成角的大小.
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