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(本小题满分14分)

已知函数 只有一个零点.

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)若函数在区间上有极值点,求取值范围;

(Ⅲ)是否存在两个不等正数,当时,函数的值域也是,若存在,求出所有这样的正数;若不存在,请说明理由;

 

【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ)

(Ⅲ)不存在这样的正数满足题意.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

(1)因为函数 只有一个零点.

可以知道在x=3处的导数值为零,以及导数为零点只有一个,求解函数的解析式;

(2)因为函数在区间上有极值点,说明了导数在给定区间内有根,然后借助于函数的性质来求取值范围;

(3)假设存在两个不等正数,当时,函数的值域也是,根据函数的单调性判定来求解取值。

(Ⅰ) 的根,并满足

(Ⅱ)在(0,2)上有极值点

在(0,2)上有根

在(0,2)上有根

对称轴为,且开口向上,如图所示:

的根设为,且满足

 

0

0

极大值

极小值

所以 在(0,2)上有极值点时,的取值范围为

(Ⅲ),

(0,1)

1

(1,3)

3

+

 

 

递增

4

 递减

0

 递增

假设存在不等正数,得当时,的值域也是

极值点

(ⅰ)若,则上单调递增

不合要求,舍去.

(ⅱ)若,在此区间上的最大值为4,不可能等于,不符合题意,舍去(ⅲ)若单调递减

两式相减并除——①

两式相除并开方可得——②

代入①式得矛盾.

 综上所述,不存在这样的正数满足题意.

 

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