Question

已知函数f（x）=

kx+k(a-1)，x≥0 1 3 x3- 1 2 ax2+(a-1)x-a2+2a-2，x＜0

，其中a∈R，若对任意的非零的实数x₁，存在唯一的非零的实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，则k的最大值为（　　）

• A、-1
• B、-2
• C、-4
• D、-3

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：求函数的导数f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），结合分段函数的表达式从而确定函数的单调性，利用基本不等式进行求解即可．

解答： 解：由分段函数可得f（0）=k（a-1），
当x＜0时，f′（x）=x²-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]，
若对任意的非零的实数x₁，存在唯一的非零的实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
则知函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
当x≥0时，f（x）=k（x+a-1），此时对应直线和x轴的交点为（1-a，0），
故-a+1≤0，故a≥1；
而由-a²+2a-2=k（a-1）知，
当a=1时不成立，
故a＞1，
则k=

-a2+2a-2

a-1

=

-(a-1)2-1

a-1

=-（a-1+

1

a-1

）≤-2

(a-1)• 1 a-1

=-2，
（当且仅当a-1=

1

a-1

，即a=2时，等号成立）；
故k的最大值为-2，
故选：B

点评：本题主要考查分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．