Question

1．已知倾斜角为$\frac{2π}{3}$的直线l过抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点，则直线l被圆x²+y²+4y-5=0截得的弦长为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由抛物线的焦点坐标求出直线方程，再求出圆的圆心的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长．

解答 解：抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点坐标是（0，1），
∴过抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点，倾斜角为$\frac{2π}{3}$的直线l的方程为y=-$\sqrt{3}$x+1，即$\sqrt{3}$x+y-1=0，
圆x²+y²+4y-5=0可化为x²+（y+2）²=9，圆心为（0，-2），半径为3，
圆心到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{3}{2}$，
∴直线l被圆x²+y²+4y-5=0截得的弦长为2$\sqrt{9-\frac{9}{4}}$=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆相交的弦长的求法，考查点到直线距离公式的灵活运用，是中档题．