Question

7．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散．用f（x）表示学生的注意力，x表示授课时间（单位：分），实验结果表明f（x）与x有如下的关系：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5x+9，（0＜x＜10）}\\{59，（10＜x≤16）}\\{-3x+107，（16＜x≤30）}\end{array}\right.$．
（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长的时间？
（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在各段上的单调性可判断计算出答案．
（2）解不等式求出学生注意力不低于55的持续时间即可．

解答 解：（1）当0＜x≤10时，f（x）是增函数，f_max（x）=f（10）=59，
当16＜x≤30时，f（x）是减函数，f（x）＜f（16）=59．
∴开始授课10分钟后，学生的注意力最集中，能维持6分钟．
（2）当0＜x≤10时，令f（x）=5x+9≥55，解得$\frac{46}{5}$≤x≤10．
当10＜x≤16时，f（x）=59＞55．
当16＜x≤30时，令f（x）=-3x+107≥55，解得16＜x≤$\frac{52}{3}$．
∴学生注意力不低于55的持续时间为$\frac{52}{3}$-$\frac{46}{5}$=$\frac{122}{15}$＜10．
∴老师能不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题．

点评 本题考查了分段函数的应用，分类讨论思想．属于基础题．