Question

3．过曲线y=x-$\frac{1}{x}$（x＞0）上一点P（x₀，y₀）处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为$\frac{1}{3}$，则x₀=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标．

解答 解：由题意可得y₀=x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$，x₀＞0，
∵y′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴切线的斜率为1+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
则切线的方程为y-x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$=（1+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
令x=0得y=-$\frac{2}{{x}_{0}}$；
令y=0得x=$\frac{2{x}_{0}}{1+{{x}_{0}}^{2}}$，
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{{x}_{0}}$•$\frac{2{x}_{0}}{1+{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
解得x₀=$\sqrt{5}$（负的舍去）．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角形面积的计算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．