Question

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为AB、A₁B₁中点，现已给出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的左视图．
（1）请画出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的主视图和俯视图；
（2）请在线段BC上找一点M，使得点M和直线EF所确定的平面（设为α）垂直于面EFD₁D，在图中画出α与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁相交所成的截面，说出BM的长度，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）由四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的直观图能作出主视图和俯视图．
（2）在线段BC上找一点M，使BM=$\frac{1}{2}$，则点M和直线EF所确定的平面（设为α）垂直于面EFD₁D，由勾股定理推导出DE⊥ME，由线面垂直得EF⊥EM，由此能证明面EFD₁D⊥α．

解答 解：（1）由四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的直观图作出主视图和俯视图，如下图：

（2）如右图，在线段BC上找一点M，使BM=$\frac{1}{2}$，则点M和直线EF所确定的平面（设为α）垂直于面EFD₁D．
证明：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为AB、A₁B₁中点，
∴DE=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，EM=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，DM=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{2}$，
∴DE²+EM²=DM²，∴DE⊥ME，
又∵EF⊥面ABCD，EM?平面ABCD，∴EF⊥EM，
∵EF∩EM=E，∴EM⊥平面EFD₁D，
∵EM?α，∴面EFD₁D⊥α．

点评 本题考查主视图、俯视图的作法，考查使面面垂直的点的确定与证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．