Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，，分别为椭圆的上、下顶点，点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆的另一交点分别为，证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

(1)可根据椭圆离心率为、椭圆过点、椭圆三者之间的关系列出算式，通过计算即可得出结果；

(2)首先根据椭圆性质可得两点坐标，并写出直线的方程以及直线的方程，然后通过直线方程与椭圆方程联立即可得出两点的横纵坐标，然后利用椭圆的对称性设出定点坐标，通过直线的斜率等于直线的斜率即可列出方程并通过计算得出结果。

(1)由题意知，解得，所以椭圆的方程为。

(2)易知、，则直线的方程为，直线的方程为.

联立，得，于是，，

同理可得，，

又由点及椭圆的对称性可知定点在轴上，

设为，则直线的斜率，直线的斜率，

令，则，化简得，解得，

所以直线过定点。