Question

已知函数f（x）=mx³+2nx²-12x的减区间是（-2，2）．
（1）试求m、n的值；
（2）求过点A（1，-11）且与曲线y=f（x）相切的切线方程；
（3）过点A（1，t）是否存在与曲线y=f（x）相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）单调减区间即为f'（x）＜0的解集，利用根与系数的关系求出m与n的值即可；
（2）当A为切点时，利用导数的几何意义求出x=1处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，化成一般式即可，当A不为切点时，设切点为P（x₀，f（x₀）），这时切线的斜率是k=f'（x₀），将点A（1，-11）代入得到关于x₀的方程，即可求出切点坐标，最后求出切线方程；
（3）存在满足条件的三条切线．设点P（x₀，f（x₀））是曲线f（x）=x³-12x的切点，写出在P点处的切线的方程为y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）将点A（1，t）代入，将t分离出来，根据有三条切线，所以方程应有3个实根，设g（x）=2x³-3x²+t+12，只要使曲线有3个零点即可．建立不等关系解之即可．

解答：解：（1）由题意知：f'（x）=3mx²+4nx-12＜0的解集为（-2，2），
所以，-2和2为方程3mx²+4nx-12=0的根，（2分）
由韦达定理知0=-

4n

3m

，-4=

-12

3m

，即m=1，n=0．（4分）
（2）∵f（x）=x³-12x，∴f'（x）=3x²-12，∵f（1）=1³-12•1=-11
当A为切点时，切线的斜率k=f'（1）=3-12=-9，
∴切线为y+11=-9（x-1），即9x+y+2=0；（6分）
当A不为切点时，设切点为P（x₀，f（x₀）），这时切线的斜率是k=f'（x₀）=3x₀²-12，
切线方程为y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），即y=3（x₀²-4）x-2x₀³
因为过点A（1，-11），-11=3（x₀²-4）-2x₀³，∴2x₀³-3x₀²+1=0，（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
∴x₀=1或x0=-

1

2

，而x₀=1为A点，即另一个切点为P(-

1

2

， 

47

8

)，
∴k=f′(-

1

2

)=3×

1

4

-12=-

45

4

，
切线方程为y+11=-

45

4

(x-1)，即45x+4y-1=0（8分）
所以，过点A（1，-11）的切线为9x+y+2=0或45x+4y-1=0．（9分）
（3）存在满足条件的三条切线．（10分）
设点P（x₀，f（x₀））是曲线f（x）=x³-12x的切点，
则在P点处的切线的方程为y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）即y=3（x₀²-4）x-2x₀³
因为其过点A（1，t），所以，t=3（x₀²-4）-2x₀³=-2x₀³+3x₀²-12，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，（11分）
设g（x）=2x³-3x²+t+12，只要使曲线有3个零点即可．
设g'（x）=6x²-6x=0，∴x=0或x=1分别为g（x）的极值点，
当x∈（-∞，0）和（1，+∞）时g'（x）＞0，g（x）在（-∞，0）和（1，+∞）上单增，
当x∈（0，1）时g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上单减，
所以，x=0为极大值点，x=1为极小值点．
所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当

g(0)＞0 g(1)＜0

即

t+12＞0 t+11＜0

，
解得-12＜t＜-11．（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于中档题．