Question

已知椭圆：

x2

8

+

y2

4

=1．
（1）若点（x，y₀）为椭圆上的任意一点，求证：直线

x0x

8

+

y0y

4

=1为椭圆的切线；
（2）若点P为直线x+y-4=0上的任意一点，过P作椭圆的切线PM、PN，其中M、N为切点，试求椭圆的右焦点F到直线MN的距离的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意，知2y02=8-x02，由

x2+2y2=8 x0x 8 + y0y 4 =1

，得x2-2x0x+x02=0，由△=(-2x0)2-4x02=0，知直线为椭圆的切线．
（2）设P（x₀，y₀），则x₀=4-y₀，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则PM，PN切线方程为

x1x 8 + y1y 4 =1 x2x 8 + y2y 4 =1

，且过P（x₀，y₀），则

x1x0 8 + y1y0 4 =1 x2x0 8 + y2y0 4 =1

，故MN所在直线方程x₀x+2y₀y-8=0，由此能求出求椭圆的右焦点F到直线MN的距离的最大值．

解答：解：（1）由题意，x02+2y02=8，即2y02=8-x02，…①
由

x2+2y2=8 x0x 8 + y0y 4 =1

，
则（2y02+x0 2）x²-16x₀x+64-16y02=0，（4分）
代入①式，得x2-2x0x+x02=0，
则△(-2x0)2-4x02=0，
∴直线为椭圆的切线（6分）
（2）设P（x₀，y₀），则x₀+y₀-4=0，即x₀=4-y₀，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由（1）知，PM，PN切线方程为

x1x 8 + y1y 4 =1 x2x 8 + y2y 4 =1

，
且过P（x₀，y₀），则

x1x0 8 + y1y0 4 =1 x2x0 8 + y2y0 4 =1

，
∴MN所在直线方程为

x0x

8

+

y0y

4

=1，
即x₀x+2y₀y-8=0，（10分）
设所求距离为d，且F（2，0），
则d=

|2x0-8|

x02+4y02

=

|2y0|

5y02-8y0+16

=

2

16 y02 - 8 y0 +5

=

2

( 4 y0 -1)2+4

，
∴当y₀=4时，d_min=1．（15分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．