Question

在当前市场经济条件下，某服装市场上，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距，对购物的消费者来说，总希望这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有了消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表：

次数    消费者还价        商家讨价

第1次  b₁=a      c₁=b₁+(a-b₁)

第2次  b₂=c₁-(c₁-b₁)  c₂=b₂+(c₁-b₂)

第3次  b₃=c₂-(c₂-b₂)  c₃=b₃+(c₂-b₃)

…          …          …

第n次  b_n=c_n-1-(c_n-1-b_n-1)  c_n=b_n+(c_n-1-b_n)

    若将消费者每次的还价b_n(n∈N^*)组成一个数列{b_n}.

(1)写出此数列的前三项，并猜测通项b_n的表达式；

(2)若实际价格b与定出的价格a之比为b∶a=0.618∶1,则利用“对半还价法”的最终结果，商家将有约百分之几的赚头？

Answer 1

解：(1)b₁=a,

b₂=c₁-(c₁-b₁)=a+a=(-)a+(-)²a+(-)³a+a，

b₃=c₂-(c₂-b₂)=(-)a+(-)²a+…+(-)⁵a+a.

    由此猜想b_n=c_n-1-(c_n-1-b_n-1)=(-)a+(-)²a+…+(-)^2n-1a+a=-a［1+（）^2n-1］+a.

(2)∵b:a=0.618:1,

∴a=.

∴a=≈1.08b.

    故商家将有8%的赚头.