Question

18．如图，曲线M：y²=x与曲线N：（x-4）²+2y²=m²（m＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（1）求m的取值范围；
（2）求四边形ABCD的面积的最大值及此时对角线AC与BD的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）联立曲线$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{（x-4）^{2}+2{y}^{2}={m}^{2}}\end{array}\right.$，得x²-6x+16-m²=0，由此利用根的判别式、韦达定理能求出m的取值范围．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₂＞x₁，y₁＞0，y₂＞0，则S_ABCD=（y₁+y₂）（x₂-x₁）=（$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}$）（x₂-x₁）=$\sqrt{6+2\sqrt{16-{m}^{2}}}$•$\sqrt{36-4×（16-{m}^{2}）}$，令t=$\sqrt{16-{m}^{2}}$，则tS_ABCD=2$\sqrt{2}$$\sqrt{-{t}^{3}-3{t}^{2}+9t+27}$，设f（t）=-t³-3t²+9t+27，由导数性质能求出S_ABCD的最大值为16．由此能求出结果．

解答 解：（1）联立曲线$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{（x-4）^{2}+2{y}^{2}={m}^{2}}\end{array}\right.$，消去y，得（x-4）²+2x-m²=0，
整理，得：x²-6x+16-m²=0，
根据已知条件，得$\left\{\begin{array}{l}{△=36-4（16-{m}^{2}）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=6＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=16-{{m}^{2}＞0}_{\;}}\end{array}\right.$，
解得$\sqrt{7}＜m＜4$．（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₂＞x₁，y₁＞0，y₂＞0，
则S_ABCD=（y₁+y₂）（x₂-x₁）=（$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}$）（x₂-x₁）
=$\sqrt{{x}_{1}+{x}_{2}+2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{6+2\sqrt{16-{m}^{2}}}$•$\sqrt{36-4×（16-{m}^{2}）}$．（6分）
令t=$\sqrt{16-{m}^{2}}$，则t∈（0，3），S_ABCD=$\sqrt{6+2t}•\sqrt{36-4{t}^{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{-{t}^{3}-3{t}^{2}+9t+27}$，（7分）
设f（t）=-t³-3t²+9t+27，
则令f′（t）=-3t²-6t+9=-3（t²+2t-3）=-3（t-1）（t+3）=0，
可得当t∈（0，3）时，f（x）的最大值为f（1）=32，从而S_ABCD的最大值为16．
此时t=1，即$\sqrt{16-{m}^{2}}$=1，则m²=15．（9分）
联立曲线M，N的方程消去y并整理得
x²-6x+1=0，解得${x}_{1}=3-2\sqrt{2}$，${x}_{2}=3+2\sqrt{2}$，
∴A点坐标为（3-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}-1$），C点坐标为（3+2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}-1$），
k_AC=$\frac{（-\sqrt{2}-1）-（\sqrt{2}-1）}{（3+2\sqrt{2}）-（3-2\sqrt{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
则直线AC的方程为y-（$\sqrt{2}-1$）=-$\frac{1}{2}$[x-（3-2$\sqrt{2}$）]，（11分）
当y=0时，x=1，由对称性可知AC与BD的交点在x轴上，
即对角线AC与BD交点坐标为（1，0）．（12分）

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查四边形的面积的最大值及此时对角线的交点坐标的求法，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高．