【题目】.已知函数.
(1)求过点的
图象的切线方程;
(2)若函数存在两个极值点
,
,求
的取值范围;
(3)当时,均有
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)设切点坐标为,则切线方程为
,根据点
坐标,即可求出
,从而得到切线方程;(2)对
求导,令
,要使
存在两个极值点
,
,则方程
有两个不相等的正数根,从而只需满足
即可;(3)由
在
上恒成立可得
在
上恒成立,令
,求出
的单调性,可得出
的最大值,即可求得
的取值范围.
试题解析:(1)由题意得,函数的定义域为
,
设切点坐标为,则切线方程为
把点代入切线方程,得:
,
过点
的切线方程为:
(2)∵
∴
令
要使存在两个极值点
,
,则方程
有两个不相等的正数根.
又,
.
故只需满足即可
解得:
(3)由于在
上恒成立.
∴在
上恒成立.
令
则
当时,
令,则
在
上单调递增
又,
∴存在便得
,即
,
故当时,
,此时
当时,
此时
.
故函数在
上递增,在
上递减
从而:
令,
则
在上
单调递增,
∴
故.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着苹果6手机的上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是一部分大学生可望而不可及,因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式,某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计,统计结果如下表所示:
付款方式 | 分1期 | 分2期 | 分3期 | 分4期 | 分5期 |
频 数 | 35 | 25 | a | 10 | b |
已知分3期付款的频率为0.15,并且店销售一部苹果6,顾客分1期付款,其利润为1千元;分2期或3期付款,其利润为1.5千元;分4期或5期付款,其利润为2千元,以频率作为概率.
(1)求事件A:“购买的3位顾客中,至多有1位分4期付款”的概率;
(2)用X表示销售一该手机的利润,求X的分布列及数学期望E(x)
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【题目】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员,日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元,每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元,日销售量不超过45件没有提成,超过45件的部分每件提成8元.
(I)请将两家公司各一名推销员的日工资 (单位: 元) 分别表示为日销售件数
的函数关系式;
(II)从两家公司各随机选取一名推销员,对他们过去100天的销售情况进行统计,得到如下条形图。若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为
(单位: 元),将该频率视为概率,请回答下面问题:
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作,如果仅从日均收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
【答案】(I)见解析; (Ⅱ)见解析.
【解析】分析:(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式,而乙公司是分段函数的关系式,由此解得;(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列,从而可分别求得数学期望,进而可得结论.
详解:(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资 (单位:元) 与销售件数
的关系式为:
.
乙公司一名推销员的日工资 (单位: 元) 与销售件数
的关系式为:
(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为 (单位: 元),由条形图可得
的分布列为
122 | 124 | 126 | 128 | 130 | |
0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
记乙公司一名推销员的日工资为 (单位: 元),由条形图可得
的分布列为
120 | 128 | 144 | 160 | |
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
∴
∴仅从日均收入的角度考虑,我会选择去乙公司.
点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:
第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;
第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式,求出随机变量取每个值时的概率;
第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;
第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
平面
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(1)证明: ;
(2)设为线段
上的动点,若线段
长的最小值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数在区间
上存在零点,求实数
的取值范围;
(3)若函数,其中
为奇函数,
为偶函数,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知圆M的方程为x2+(y﹣2)2=1,直线l的方程为x﹣2y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若点P的横坐标为1,求切线PA,PB的方程;
(2)若点P的纵坐标为a,且在圆M上存在点Q到点P的距离为1,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢.”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第天,两马相逢.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设关于x的方程x2﹣ax﹣1=0和x2﹣x﹣2a=0的实根分别为x1、x2和x3、x4 , 若x1<x3<x2<x4 , 则实数a的取值范围为 .
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【题目】已知命题 方程
有两个不相等的负实根,
命题 不等式
的解集为
,
(1)若为真命题,求
的取值范围.
(2)若 为真命题,
为假命题,求
的取值范围.
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