Question

【题目】面对环境污染党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；
⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.3，0.3；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是0.2，0.1．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1，A2，A3，它们彼此互斥，

且P（A1）=0.4，P（A2）=0.4，∴P（A3）=1﹣0.4﹣0.5=0.1，

分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B1，B2，B3，它们彼此互斥，

且P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，∴P（B3）=1﹣0.5﹣0.3=0.2．

由题知，事件A1，A2，A3与事件B1，B2，B3相互独立，

记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，

所以P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）

=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37

（2）解：据题意ξ的可能取值为：0，1，2，3，4，

P（ξ=0）=P（A1）P（B1）=0.2，

P（ξ=1）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，

P（ξ=2）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28，

P（ξ=3）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，

P（ξ=4）=P（A3）P（B3）=0.1×0.2=0.02，

所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	0.2	0.37	0.28	0.13	0.02

ξ的数学期望Eξ=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4，

甲、乙两人所付租车费相同的概率为0.37，ξ的数学期望Eξ=1.4

【解析】（1）由题设，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1 ， A2 ， A3 ， 它们彼此互斥；分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B1 ， B2 ， B3 ， 它们也彼此互斥．记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3 ， 由此可求事件M的概率．（2）据题意ξ的可能取值为：0，1，2，3，4 其中ξ=0表示甲乙的付车费均为0元，即事件A1B1 发生；ξ=1表示甲乙共付1元车费，即甲付1元乙付0元或甲付0元乙付1元，即事件A1B2+A2B1；ξ=2表示甲乙共付2元车费，即甲付1元乙付1元或甲付0元乙付2元或甲付2元乙付0元，即事件A2B2+A1B3+A3B1；ξ=3表示甲乙共付3元车费，即甲付1元乙付2元或甲付2元乙付1元，即事件A2B3+A3B2；ξ=4表示甲乙共付4元车费，即甲付2元乙付2元，即事件A3B3 ． 由此可求出随机变量ξ的分布列，并由公式求出Eξ．
【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．