Question

6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？

(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；

(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；

(3)一人得一本，一人得两本，一人得三本；

(4)平均分给甲、乙、丙三人；

(5)平均分成三堆.

Answer 1

思路解析：本题考查利用组合数公式解答分组问题及分析问题、解决问题的能力.要注意区分分组后，组与组之间是否还有顺序.

解：(1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有C种取法;再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有C种取法;最后从余下的三本中取三本作为一堆，有C种取法，故共有分法CCC=60(种).

(2)由(1)知分成三堆的方法有CCC种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的分法亦为CCC=60(种).

(3)由(1)知分成三堆的方法有CCC种，但每一种分组方法又有A种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有CCCC=360(种).

(4)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的方法有C种;甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本书，有C种方法;而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的2本中取2本书，有C种方法，所以一共有CCC=90(种)方法.

(5)把6本不同的书分成三堆，每堆两本与把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人两本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人.因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有xA种，由(4)知,把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有CCC种.

所以xA=CCC.则x==15(种).

方法归纳  本问题中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中(1)属非均匀分组问题；(2)属非均匀定向分配问题；(3)属非均匀不定向分配问题；(4)属均匀不定向分配问题；(5)属均匀分组问题.

一般地，将n个不同的元素平均分成m组，每组r个元素，则所有的分法种数为

一般地，将n个不同元素分成m组，各组的个数依次为r₁,r₂,…,r_m，且各组中元素的个数互不相同，则不同的分组分法种数为